Question

已知一个函数F(x)的导函数为1/(√1-x²)？

已知一个函数F(x)的导函数为1/(√1-x²),且当x=1时,函数值F(1)=3π/2,则此函数F(x)＝

Answer 1

∵ F(x)的导函数为1/√(1-x²)
∴ F(x)可以写作arcsinx+c
又，F(1)=3Π/2
∴ arcsin1+c=3Π/2
Π/2+c=3Π/2
c=Π
∴ F(x)=arcsinx + Π

Answer 2

设f(x)=ax²+bx+c
f'(x)=2ax+b
f(x+h)=a(x+h)²+b(x+h)+c
=ax²+2ahx+ah²+bx+bh+c
[f(x+h)-f(x)]/h=2ax+ah+b
f'(x+h/2)=2a(x+h/2)+b=2ax+ah+b
因此：[f(x+h)-f(x)]/h=f'(x+h/2)
f(x)是任意二次函数，是充分条件。
f(x)=C（常数）,也是解：
f'(x)=0
[f(x+h)-f(x)]/h=[C-C]/h=0=f'(x+h/2)
f(x)=kx,f'(x)=k
[f(x+h)-f(x)]/h=[kx+kh-kx]/h=k=f'(x+h/2),f(x)是正比例函数也是可以的；
f(x)=kx+b,f'(x)=k
[f(x+h)-f(x)]/h=[kx+kh+b-kx-b]/h=k=f'(x+h/2),f(x)是任意一次函数也是可以的。
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
[f(x+h)-f(x)]/h=[a(x+h)³+b(x+h)²+c(x+h)+d-ax³-bx²-cx-d]/h
={a[(x+h)³-x³]+b[(x+h)²-x²]+ch}/h
={ah[(x+h)²+x(x+h)+x²]+bh(2x+h)+ch}/h
=a[(x+h)²+x(x+h)+x²]+b(2x+h)+c
=a[x²+2hx+h²+x²+hx+x²]+2bx+bh+c
=a[3x²+3hx+h²]+2bx+bh+c
=3ax²+3ahx+ah²+2bx+bh+c
=3ax²+3ahx+2bx+ah²+bh+c
f'(x+h/2)=3a(x+h/2)²+2b(x+h/2)+c
=3ax²+3ahx+3ah²/4+2bx+bh+c
3ax²+3ahx+2bx+ah²+bh+c=3ax²+3ahx+3ah²/4+2bx+bh+c
ah²=3ah²/4
ah²/4=0，h任意值，a必须是0
因此准确的说法是，f(x)是不高于2次的多项式函数，都满足题意。
设x0=x+h/2，条件可以化作：
[f(x0+h/2)-f(x0-h/2)]/h=f'(x0)
在几何上，就是平行弦的中点在一竖直直线上。