Question

证明 方程(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0有且仅有两个根。

证明 方程(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0有且仅有两个根。（用rolle定理和零点定理）

Answer 1

第一问：
3x²-12x+11=0，直接解出方程，看一下根的大小不就可以判断了。也要受x≠1，2，3的制约，否则方程无意义。
第二问：单调性只能用定义证明，证明如下：
设1＜x1＜x2＜2
则f(x1)-f(x2)
=1/(x1-1)+1/(x1-2)+1/(x1-3)-[1/(x2-1)+1/(x2-2)+1/(x2-3)]
=[3x1²-12x1+11-(3x2²-12x2+11)]/(x1-1)(x2-1)(x1-2)(x2-2)(x1-3)(x2-3)
分母显然大于0，判断分子正负即可
分子=3(x1²-x2²)-12（x1-x2）=3(x1-x2)(x1+x2-4)
因为1＜x1＜x2＜2
所以：x1-x2＜0，x1+x2-4＜0
即当1＜x1＜x2＜2时，f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
所以函数f(x)=1/(x-1)+1/(x-2)+1/(x-3)在(1,2)单调递减
同理可判断在（2，3）区间上是增函数