Question

请问这个式子是怎么推导出来的呀？

Answer 1

这个式子利用微元法的推导过程如下：
在x轴上分别过坐标为x和x+dx的点作垂直于x轴的平面，该二平面在旋转体上截下的部分的两个底面分别是半径为y(x)和y(x+dx)的圆。为了求旋转体被截下部分的侧面积，将上述部分视为高为dx的圆台，这部分的侧面积用底面半径为y(x)的圆、高为原曲线在点(x,y(x))处切线被截下的长的圆柱面侧面积代替。由于被截下的切线长为
ds＝√[(dx)^2+(dy)^2]＝√[x'^2(t)dt+y'^2(t)dt]
＝√[x'^2(t)+y'^2(t)]dt，
所以，被截下部分的侧面积是
dS＝[2πy(t)] × ds＝2πy(t)√[x'^2(t)+y'^2(t)]dt.
从而，所求旋转体侧面积是
S＝∫(α,β)dS＝2π∫(α,β)√[x'^2(t)+y'^2(t)]dt.
注：微元法推导过程是一种粗略的过程，不具有严格逻辑推导的特点，但这种方法容易被“粗略地”接受，而且与用严格的逻辑推导得出的公式相吻合。教材里之所以不采取严格逻辑推导的办法，是因为这种办法太过冗长。

追答

被截下的切线长的计算利用的是弧微分公式(ds)^2＝(dx)^2+(dy)^2

倒数第七行“被截下部分的侧面积”应该改成“被截下部分侧面积的近似值”

倒数第十一行最右边的两个dt都应该是(dt)^2