Question

已知函数f(x)=a³x-3x+1，对于x属于[-1,1]区间，总有f(x)≥0成立,求实数a的值

Answer 1

题目应该是抄错了，原题中的f(x)是f(x)=ax³-3x+1，而不是f(x)=a³x-3x+1，
这是2008年江苏的高考题，解答过程如下：
f(x)=ax³-3x+1
1.a=0,f(x)=-3x+1,x∈[-1,1],f(1)=-2与对于任意x属于【-1，1】，都有f（x）≥0成立”不符。
2。a≠0
f'(x)=3ax²-3=3a(x²-1/a)
(1)若a<0,有f'(x)<0,f(x)在[-1，1]上单调递减，
故x=1时，f(x)取得最小值a-2,
∵对于任意x属于【-1，1】，都有f（x）≥0成立
∴a-2≥0
a≥2与a<0矛盾，
∴a<0时，不符合。
(2)a>0,f'(x)=3ax²-3=3a(x²-1/a)=3a(x+1/√a)(x-1/√a),x∈[-1,1],
1)0
1,x∈[-1,-1/√a),f'(x)>0,f(x)单调递增，
x∈(-1/√a,1/√a),f'(x)<0,f(x)单调递减，
x∈(1/√a,1],f'(x)>0,f(x)单调递增，
故f(x)取得最小值只能在x=-1或x=1/√a取得.
∴f(-1)≥0且f(1/√a)≥0
即:-a+4≥0且-2/√a+1≥0
解得a≤4且a≥4
∴a=4
综上可知实数a的值是4。

Answer 2

解：若对于任意x属于【-
1,1】，都有f(x)>=0成立，则f(x)的最小值>=0，要求最值，就需要知道函增减关系，对函数f(x）求导，f’(x）=3ax^2-3,f’(x）=0时取极值，3ax^2-3=0，得x=±1/根号下a（a>0易证，将x=1带入函数得a-2≥0）
当1≤x≤0时，x=-1/根号下a有极值，
-1≤x≤-1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3>0，函数递增，
0≥x≥-1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3<0,函数递减，
说明x=-1/根号下a有极大值，f(x)在x=-1和x=0时取小值，f(0)=1≥0
f(-1)=4-a≥0,得a≤4.
当1≥x≥0是，x=1/根号下a有极值，
0≤x≤1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3<0，函数递减，
1≥x≥1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3>0,函数递增，
说明x=1/根号下a有极小值，代入函数得f（1/根号下a)=1/根号下a-3/根号下a+1≥0,
得a≥4;
综合整个定义域，a=4。