一元二次方程配方法和公式法得详解

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一元二次方程
定义
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只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.

一般形式
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ax^2+bx+c=0(a、b、c是常数a≠0)
例:x^2+2x+1=0

一般解法
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1..配方法
2.公式法
3.分解因式法
4.直接开方法

判别方法
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一元二次方程的判断式:
b^2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根.
b^2-4ac=0 方程有两个相等的实数根.
b^2-4ac<0 方程没有实数根.
上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边.

列一元二次方程解题的步骤
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(1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;
(2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;
(3)找出相等关系,并用它列出方程;
(4)解方程求出题中未知数的值;
(5)检验所求的答数是否符合题意,并做答.

经典例题精讲
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1.对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0.
2.解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法.
3.一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立.利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况;(2)根据参系数的性质确定根的范围;(3)解与根有关的证明题.
4.一元二次方程根与系数的应用很多:(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.

韦达定理
[编辑本段]
韦达(Vieta's ,Francois,seigneurdeLa Bigotiere)1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷学习法律,后任律师,1567年成为议会的议员。在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码,赢得很高声誉。法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号,并对方程论做了改进。
韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系

韦达定理(Vieta's Theorem)的内容
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
设两个根为X1和X2
则X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a

韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个一元n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,∏是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是,那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

韦达定理的证明
设x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。
有:a(x-x1)(x-x2)=0
所以 ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
通过对比系数可得:
-a(x1+x2)=b ax1x2=c
所以 x1+x2=-b/a x1x2=c/a

韦达定理推广的证明
设x1,x2,……,xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i (在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)
通过系数对比可得:
A(n-1)=-An(∑xi)
A(n-2)=An(∑xixj)

A0==(-1)^n*An*∏Xi
所以:∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,∏是求积。
参考资料http://baike.baidu.com/view/397767.htm
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一元二次方程
定义
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只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.
一般形式
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ax^2+bx+c=0(a、b、c是常数a≠0)
例:x^2+2x+1=0
一般解法
[编辑本段]
1..配方法
2.公式法
3.分解因式法
4.直接开方法
判别方法
[编辑本段]
一元二次方程的判断式:
b^2-4ac>0方程有两个不相等的实数根.
b^2-4ac=0方程有两个相等的实数根.
b^2-4ac<0方程没有实数根.
上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边.
列一元二次方程解题的步骤
[编辑本段]
(1)分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系;
(2)设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数;
(3)找出相等关系,并用它列出方程;
(4)解方程求出题中未知数的值;
(5)检验所求的答数是否符合题意,并做答.
经典例题精讲
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1.对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为0.
2.解一元二次方程时,根据方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,再考虑用公式法.
3.一元二次方程(a≠0)的根的判别式正反都成立.利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况;(2)根据参系数的性质确定根的范围;(3)解与根有关的证明题.
4.一元二次方程根与系数的应用很多:(1)已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数;(2)已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数;(3)已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.
韦达定理
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韦达(Vieta's,Francois,seigneurdeLaBigotiere)1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷学习法律,后任律师,1567年成为议会的议员。在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码,赢得很高声誉。法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号,并对方程论做了改进。
韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系
韦达定理(Vieta'sTheorem)的内容
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac≥0)中
设两个根为X1和X2
则X1+X2=-b/a
X1*X2=c/a
韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个一元n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,∏是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是,那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得:任何一元n次方程
在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
韦达定理的证明
设x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。
有:a(x-x1)(x-x2)=0
所以ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
通过对比系数可得:
-a(x1+x2)=bax1x2=c
所以x1+x2=-b/ax1x2=c/a
韦达定理推广的证明
设x1,x2,……,xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
则有:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以:An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i(在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理)
通过系数对比可得:
A(n-1)=-An(∑xi)
A(n-2)=An(∑xixj)

A0==(-1)^n*An*∏Xi
所以:∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和,∏是求积。
参考资料http://baike.baidu.com/view/397767.htm
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百度网友faf221ce3
2008-08-22
知道答主
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配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c

将二次项系数化为1:x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2

方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=

当b2-4ac≥0时,x+ =±

∴x=(这就是求根公式)

公式法
[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2*a)

楼下的怎么连韦达定理都出来了?这对于提问的问题有点没关联吧?
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