Question

二元函数可微定义理解

用通俗的语言解释一下定义，不要粘贴百科上的：
“设函数y= f(x)，且f(x)在x的领域内有定义，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)（其中A与Δx无关），则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx”

还有解释一下图片中可微表达式怎么理解

谢谢

Answer 1

2019.12.02
建议题主从一元函数可微(也就是可导)的角度来理解这个定义式(首先要记得一点：一元，即x决定y，亦即自变量的变化方向只有一个方向)。
我简单说一下我对这个的理解。(以下答案纯手打…)
首先一元函数在x处(为了简单理解，以x=0处为例)导数的定义Δy/Δx=lim(Δx->0)(f(0+Δx)-f(0))/Δx=A，(可导的情况下A=f'(0)，是一个常数)--①式，这个意思比较好理解：自变量增加一个增量Δ后，因变量增量与该增量的比值。
因为A是常数，这也就意味着，f(0+Δx)-f(0)与Δx(也即Δy与Δx)是同阶无穷小。在这个理解基础上，将①式稍微变换一下，就有了你问题里的''Δy=A×Δx+ο(Δx)''，o(Δx)表示Δx的高阶无穷小(同阶无穷小在无穷级数正项情况下的等价替换里也会用到)。那么按这个理解，就有lim(Δx->0)(f(0+Δx)-f(0)-f'(0)*Δx)/Δx=0--②式。其中f(0+Δx)-f(0)=Δf。之所以②式=0，是因为②式等价于lim(Δx->0)o(Δx)/Δx=0，(分子是分母的高阶无穷小)。(把f'(0)*Δx放到平面坐标系里理解，就是在f(0)处Δx变化下Δf变化的线性部分，这个理解用于后面二元时的类比)，②式也就是f(x)在x=0处可导的定义式。
理解了这个式子以后，再来看二元的(首先在空间坐标系里想一下。类比一元。二元，即x,y决定z，亦即自变量的变化方向有两个)。同样为了简化，以x=0，y=0为例。定义里面，分子里的Δf=f(0+Δx,0+Δy)-f(0,0)，这对应②式里的Δf，这个应该好理解，即在空间内的(0,0,f(0,0))坐标点沿x增加一个增量Δ1，再沿y增加一个增量Δ2以后，该空间点的高度与原来位置高度之差。
关键是分子后面(这部分理解起来是最抽象的!，因为二元时的偏导数不像一元时的导数，偏导数这个概念不怎么好在图形上表示出来)，既然前面说明了二元时自变量的变化方向有两个，那么这里类比②式，按道理也就要分别减去两个方向上变化的线性部分，而此时Δx，Δy前面的系数，相应用(0,0)在x，y方向上的偏导，这样理解起来也就比较合情合理了，即Δf-(f'x(0,0)*Δx+f'y(0,0)*Δy)。
最后再来看分母，②式分母Δx是一元自变量''移动''的距离，那么自然而然，二元时分母也应该是自变量''移动''的距离，前面已经说明了，二元时自变量移动方向有两个，各方向上分别移动Δx，Δy，那么整个的移动距离也就是√((Δx)²+(Δy)²)。综上得到二元条件下f在x=0，y=0处可微的定义式lim(Δx->0,Δy->0)(f(0+Δx,0+Δy)-f(0,0)-(f'x(0,0)*Δx+f'y(0,0)*Δy))/√((Δx)²+(Δy)²)--③式。
最后的最后，由于一元可导要求②式=0，所以二元可微理应要求③式=0。(这也就是你图片里的式子)
本人考研党，啰啰嗦嗦写了一大堆，不知道好不好理解。如果有高手，还请高手多多指点。
如果有帮助，点个赞以示鼓励，谢谢，mua~
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2020.04.04
没想到会有25位同学(会不会大部分都是研友呢hh)点赞，谢谢各位的点赞！
答主去年考某211经济类学硕，考的数三，最后123，虽然不是特别好，但是录答主报的学校足够了
希望有幸刷到这条答案的研友们，继续肝数学，再苦再累也要坚持下去；
希望有幸刷到这条答案的大一大二的学弟学妹们，认真学好高数线代概率论，打好基础
大家都加油！
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2020.05.24
最终结果前阵子出来了，突然想到来这里说一下
初试第5，总分第4成功录取。ps:答主工科跨考某文科211院校的经济类
祝愿刷到这个答案的各位学弟学妹们能够成功上岸！
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2020.11.09
距离21考研不到50天了，我又来了，发现这个回答被赞了近90次(不敢相信)
答主我呢，是跨考，二战才上岸
因为有几位同学问过我跨考的事，加上我本人是比较热心帮助别人的
所以就把自己两年考研的故事大致梳理了一下，放在了自己的“工仲皓”-“李同学的生活碎片”里面，很认真的写了很多（好怕这条回答又被系统删掉啊）
其实我也不是有啥目的，因为那边我纯粹是记录自己的生活，几乎没人知道它的存在。

Answer 2

判定二元函数的可微性,关键要理解二元函数连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在且连续这四个概念与可微之间的关系。本文着重分析这四种关系,给出判定二元函数在某点可微的方法。关键词: 二元函数 连续 偏导数 可微 方向导数对于一元函数,可微性比较容易判定。因为一元函数在某个点连续、可导、可微这三个概念的关系是很清楚的,可简单地表示为:可微?圳可导?圯连续。首先,对于以一元函数,比较简单,可微一定可导,可导一定可微. 对于多元函数：偏导数存在不一定可微,可微一定存在偏导.（还有,偏导数存在时函数不一定连续）二元函数,可微的充要条件是 z=f(x,y)在（Xo,Yo)处的偏导数f`x(Xo,Yo),f`y(Xo,Yo)存在 且 {Δz-[f`x(x0,y0)h+f`y (x0,y0)k]}/ ρ=0 ( ρ→0) 其中 k=Δx h=Δy ρ=就是动点和定点的距离,那个式子 根下(x-xo)2+(y-yo)2

追问

前面那些关系我懂，解释一下你最后三行话吧，定义表达式我不懂