Question

一道复变函数利用留数求积分问题

如图8-(3)

Answer 1

分享一种解法。∵sinxcos2x=(sin3x-sinx)/2，且被积函数是偶函数，
∴原式=(1/4)[∫(-∞,∞)xsin3xdx/(1+x²)-∫(-∞,∞)xsinxdx/(1+x²)]。
设f(z)=ze^(imz)/(1+z²)(m=3,1)。由柯西积分定理，有[∫(-∞,∞)xsinmxdx/(1+x²)= Im[xe^(imx)dx/(1+x²)]=Im(2πi)∑Res[f(z),zk]。
而，f(z)在上半平面仅有一个一阶极点z=i。∴m=3时，Res[f(z),zk]=ie^(-3)/(2i)；m=1时，Res[f(z),zk]=ie^(-1)/(2i)，
∴原式=π(1/e³-1/e)/4。
供参考。

Answer 2

几年前还是会的，考试满分，然而现在他认识我 我不认识他