Question

数学分析跪求帮助

怎么做啊

Answer 1

因为z=f(x,y)和z=g(x,y)在有界闭区域上可积，所以都有界

设A=sup((x,y)∈D) {|f(x,y)|}，B=sup((x,y)∈D) {|g(x,y)|}
则A>0，B>0，（否则f(x,y),g(x,y)中至少有一个恒为0，于是f(x,y)*g(x,y)也恒为0，可积）

对任意ε>0，因为f(x,y)和g(x,y)可积，所以分别存在D上的分割T'和T''
使得∑(T') [w(f|i)*Δ(i)]<ε/(2B)，∑(T'') [w(g|i)*Δ(i)]<ε/(2A)
把T'和T''的所有分割点合并成一个新的分割T，对于D上分割T所属的每一个Δ(i)
有w(f*g|i)=sup((x',y')∈Δ(i),(x'',y'')∈Δ(i)) {|f(x',y')g(x',y')-f(x'',y'')g(x'',y'')|}
=sup((x',y')∈Δ(i),(x'',y'')∈Δ(i)) {|f(x',y')g(x',y')-f(x'',y'')g(x',y')-f(x'',y'')g(x'',y'')+f(x'',y'')g(x',y')|}
=sup((x',y')∈Δ(i),(x'',y'')∈Δ(i)) {|g(x',y')[f(x',y')-f(x'',y'')]+f(x'',y'')[g(x',y')-g(x'',y'')]|}
<=sup((x',y')∈Δ(i),(x'',y'')∈Δ(i)) {|g(x',y')|*|f(x',y')-f(x'',y'')|+|f(x'',y'')|*|g(x',y')-g(x'',y'')|}
<=B*w(f|i)+A*w(g|i)

所以∑(T) [w(f*g|i)*Δ(i)]<=B*∑(T) [w(f|i)*Δ(i)]+A*∑(T) [w(g|i)*Δ(i)]
<=B*∑(T') [w(f|i)*Δ(i)]+A*∑(T'') [w(g|i)*Δ(i)]
<B*ε/(2B)+A*ε/(2A)

=ε
即f(x,y)*g(x,y)在D上可积