Question

如何用matlab求积分？

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Answer 1

于无法求得exp(x^2)的原函数，我们只能用数值算法来求解，可以用复化梯形公式、Romberg公式、Gauss公式等，有好多种。我用Matlab编了一个用Gauss公式求解积分的函数。

function S=GaussIntegrate()
%运用Gauss求积公式计算数值积分

%f为被积函数，Rho为权函数，二者均为符号函数
x=sym('x');
f=exp(x^2);
Rho=1;

%a,b分别为求积区间的左界和右界
a=1;
b=2;

%n表示求积结点的个数，是一正整数
n=8;

%本程序利用线性变换将区间[a,b]变换到[-1.1]，
%同时令g=f*Rho为被积函数，然后利用
%古典的Gauss求积公式进行计算，此时直交多项式即为Legendre多项式

if n=0||n~=floor(n)
error('错误，n必须是一个非负整数！');
end;

if a>b
error('错误，区间的左界a一定不大于右界b！');
end;

%计算n次Legendre多项式
syms x;
P=1/(2^n*factorial(n))*diff((x^2-1)^n,n);
w=roots(sym2poly(P));

%计算数值积分
A=zeros(1,n);
S=0;
for k=1:n
A(k)=2/((1-w(k)^2)*(subs(diff(P),w(k))^2));

t=a+(b-a)/2*(w(k)+1);
g=(b-a)/2*subs(f*Rho,t);
S=S+A(k)*g;
end;

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我取了8个结点，计算精度就已经达到了小数点后8位，效率还是很高的。
注意：由于Matlab调用Maple的符号计算工具箱，第一次运行时会加载一小会，耐心等待。
以后再运行速度就很快了。

Answer 2

一、符号积分
符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：
int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；
int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

2.数值积分的实现方法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)
基于变步长、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。