Question

如图所求，谢谢

题意大概是求旋转体的体积，希望得到过程，最后答案要是 精确的分数形式

Answer 1

V=4∫(0，π/2) 2π(π－x)ydx
=8π∫(0，π/2) (π－x)(cosx)^4 dx
=8π²∫(0，π/2) (cosx)^4dx－8π∫(0，π/2) x(cosx)^4dx
∫(0，π/2) (cosx)^4dx
=sinxcos³x |(0，π/2)＋3∫(0，π/2) cos²x(1－cos²x)dx
=3∫(0，π/2) cos²x－3∫(0，π/2) (cosx)^4dx
→∫(0，π/2) (cosx)^4dx=3/4 ∫(0，π/2) cos²xdx=3/4 ×1/2 ∫(0，π/2) dx=3π/16
∫(0，π/2) x(cosx)^4dx
=∫(0，π/2) xcos³xdsinx
=－∫(0，π/2) sinx(cos³x－3xcos²xsinx)dx
=∫(0，π/2) (3xcos²xsin²x－sinxcos³x)dx
=∫(0，π/2) [3xcos²x－3x(cosx)^4－sinxcos³x]dx
→
∫(0，π/2) x(cosx)^4dx=1/4 ∫ (0，π/2) (3xcos²x－sinxcos³x)dx
=3/4 ∫ (0，π/2) xcos²xdx－1/4 ∫(0，π/2

追问

V=4∫(0，π/2) 2π(π－x)ydx 这个4哪来的。。。

追答

旋转体可以看成一个横截面不规则的环
y=(cosx)^4与y=－(cosx)^4所围成的面积为
S=4∫(0，π/2) (cosx)^4dx
=4×3/4×1/2×π/2=3/4 π
V=S·H=3π/4 ×2π×π=3π³/2