Question

哪位高数大佬讲解下，拉格朗日数乘法？

Answer 1

设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数 ，其中λ为参数。
令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，即
F'x=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0[1]
F'y=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0
F'λ=φ(x,y)=0
由上述方程组解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。
若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。
几何意义
设给定目标函数为 ，约束条件为 。[1]
如图所示，曲线 为约束条件 ， 为目标函数的等值线族。
在 、 偏导数都连续的条件下，目标函数 在约束条件 下的可能极值点 ，从几何上看，必是目标函数等值线曲线族中与约束条件曲线能相切的那个切点。
因为两曲线在切点处必有公法线，所以目标函数等值线在点 处法向量 与约束条件曲线在点 处法向量 平行，即

也就是说，存在实数 ，使下式成立

需要注意的是，目标函数等值线与约束条件曲线的切点未必就是目标函数 在约束条件 下的极值点（如图中的 点）。