Question

高等数学，求反常积分

高等数学。第二题和第四题，求反常积分，谢谢。

Answer 1

追问

第四答案好像错了，课本参考答案是2/3ln2+1/4ln3

追答

是错了，但这回还是和答案差一点，如果倒数第二行是+(1/2)ln2就和答案一样，可怎么算都是-号

追问

我想问这一步是怎么变的

xdx不是等于1/2dx吗

那不管它了吗

我一直很纠结这个

我知道－1/2是（1-x^2)的求导

追答

xdx=(1/2)dx^2=-(1/2)d(-x^2)=-(1/2)d(1-x^2)

追问

喔喔，谢谢

我想问这样做过程对吗

Answer 2

追问

追答

什么意思？

追问

就是原式不是∫xlnx/(1-x^2)^2吗

x为什么不带到dx里变成1/2dx

1/2dx^2

我好像懂了

我这样做过程对吗

和你的做法不一样

追答

这里你再看看！

追问

这样做不行吗

因为看不懂你的过程，我就自己写了😂

用分布积分原式＝uv-vdu

1/x积分成lnx

再把1/1-x^2中的1-x^2当成x

追答

那是上一步，没问题！
但是这一步就不对了！按照你的思路就是d[ln(1-x²)]=(-1/2)d(lnx)，这个是相等的吗？

追问

做法是错的吗？

Answer 3

2. 令√x = u, I = ∫<1, +∞>2udu/(u+u^3) = 2∫<1, +∞>du/(1+u^2)
= 2[arctanu]<1, +∞> = 2(π/4) = π/2.
4. I = (1/2)∫<2, +∞>lnxd(x^2-1)/(x^2-1)^2 = (-1/2)∫<2, +∞>lnxd[1/(x^2-1)]
= (-1/2)[lnx/(x^2-1)]<2, +∞> + (1/2)∫<2, +∞>[1/(x^2-1)](1/x)dx

= (1/6)ln2 + (1/4)∫<2, +∞>[1/(x-1)+1/(x+1)-2/x]dx
= (1/6)ln2 + (1/4)[ln[(x^2-1)/x^2]<2, +∞>
= (1/6)ln2 - (1/4)ln3 + (1/2)ln2 = (2/3)ln2 - (1/4)ln3