Question

有关极限的问题

黑色是推导，第二个推到对吗，书上是用定义推出来的（我觉得太麻烦）

Answer 1

您好，英文教材我没看过 ，也很好奇国外教材是怎么介绍的，在这想请教您一下。这里只想说说自己对聚点的理解，中国教材中的聚点一般都是用集合定义的，即对于集合A，如果点x0的任意去心邻域内都存在异于x0的点x，使得x属于A，那么x0称为A的聚点。初次接触这个定义时，感到很抽象，感觉好像就是指集合的内点和边界点，完全看不出“聚”字的意义何在（现在也没看出）。后来自己看书看到极限点这个概念，发现它和聚点是一回事，但极限点的定义就显得很“亲切”，它是说在点集A中，如果无穷点列{xn}全部属于A，则这点列的极限（如果存在的话）就称为极限点。由于{xn}的极限点不一定属于A，所以极限点这个名字要比所谓的“聚点”好理解的多。但是很多教材都用集合定义的聚点我觉得也不是没有道理的，因为这个概念容易推广，谈极限就要求讨论的集合要定义距离结构，而用邻域则可借助拓扑学中的方法推广到无距离结构的集合中，如果在没有距离结构也就没有极限概念的集合中使用极限点这个名字，会感觉有点不“和谐”，因此人们更愿意用聚点这个名字，虽然这个聚字一点都不形象，像是瞎起的名字。以上是我的理解，如果英文教材中有更好的解释，欢迎讨论。

Answer 2

因为你没发原题，所以f(x)是否可导不清楚，如果没给出可导的条件，则不能用洛必达

Answer 3

lim(x->1/2) f(x)/cos(πx) =0 (0/0)
=> f(1/2) =0
lim(x->1/2) f(x)/cos(πx) =0 (0/0 分子分母分别求导）
lim(x->1/2) f'(x)/[-π.sin(πx)] =0
=>
f'(1/2) = 0