Question

已知直角梯形ABCD中,AB//CD,∠DAB=90°,∠ABC=75°,E是AD上一点,且 △EBC是等边三角形

Answer 1

1， ∵∠DCE=∠C-∠ECB=(180°-∠B)-∠ECB=105°-60°=45°=90°-45°=∠D-∠DCE=∠DEC.

∴DC=DE,
又BC=BE,

∴DB是EC的垂直平分线，∴DB平分∠D,∴∠ADB=45°,∴△ADB是等腰直角三角形。∴AB=AD。

2，连接DF,

∵∠AFB=180°∠FAB-∠B=180°-30°-75°=75°=∠B,
∴AF=AB=AD,
又∠DAF=∠A-∠FAB=90°-30°=60°.
∴△DAF是等边三角形，∠DFA=60°,∴∠CFD=180°-∠DFA-∠AFB=180°-60°-75°=45°=∠CED.
∴CFED共圆，∴∠CFE=180°-∠D=180°-90°=90°,∴FC=FB.