Question

立体几何 四面体ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=AC=BC=5，求它的外接球半径

Answer 1

10.
四面体abcd的对边长分别相等，ab=cd=a，ac=bd=b，ad=bc=c．求这个四面体外接球的直径．
【题说】
1997年日本数学奥林匹克预选赛题11．
【解】
如图，作长方体aebf-gchd．使得gh=ab=cd=ef=a，fh=ac=bd=eg=b，eh=ad=bc=fg=c．
这个长方体与四面体有共同的外接球，球的直径即为长方体的对角线长．不难求得此对角线长为根号下[（a^2+b^2+c^2)/2
]

Answer 2

设AB与CD的中点为E，F，连接EF，设EF的中点为O，连接：OA，OB，OC，OD，AF，BF，CE，DE，
AC=BC，AE=BE，得
CE⊥AB；同理DE⊥AB，AB⊥平面CDE，AB⊥EF；
同理CD⊥EF；
EF为AB的公垂；
在⊿OAB中，AE=BE，EF⊥AB,
OE⊥AB,
OA=OB
同理，OC=OD；
在⊿COF与⊿BOE中，BE=AB/2=CD/2=CF∠OFC=∠OEB=90º，OF=EF/2=OE，⊿COF≌⊿BOE
OC=OB，得到OA=OB=OC=OD,即O为球心。
（下面用局部平面化的办法）
另作一个⊿ABC（注意E是AB的中点），使AC=BC=5,AB=6,利用
勾股定理
得EC=4（=DE)
再作一个⊿CDE（注意F是CD的中点），使CE=DE=4，CD=6，EF=√7，OE=√7/2；
再作一个⊿AOE，使AE=3（=AB/2)，OE=√7/2，OA=√43/2
补充说明后面的问题：
从证明过程中，可以顺便得到AB与CD垂直，另外87年有一个高考题的结果（条件：AB⊥CD，EF为公垂线，三个的长度已知，则体积为AB*CD*EF/6，利用体积可以求得内切球的半径。