Question

已知抛物线y^2=2px,直线l斜率为k经过焦点f与抛物线交于A,B求1\AF+1\BF的值。

Answer 1

设
抛物线
y²=2px(p>0)，焦点坐标为F（p/2，0），A(x1，y1)，B(x2，
y2
)，
过点F的
直线方程
为x=my+(p/2)，
代入y²=2px，得y²=2pmy-p²=0，∴y1y2=
-p²，
x1x2=(y1²/2p)
(y2²/2p)=p²/4.
由抛物线的定义可知，AF=x1+(p/2)，BF=x2+(p/2)，
∴1/AF+1/BF
=1/[
x1+(p/2)]+1/[
x2+(p/2)]
=(x1+x2+p)/[x1x2+p(x1+x2)/2+(p²/4)]
（通分化简）
将x1x2=
p²/4，x1+x2=AB-p，代入上式，得
1/AF+1/BF=AB/[（p²/4）+p(AB-p)/2+(p²/4)]=2/p，
即1/AF+1/BF=2/p.

Answer 2

y²=4x的焦点为（1，0），
∴直线方程为y=x-1，代入抛物线方程有：
(x-1)²=4x
即x²-6x
1=0，设两交点的横坐标分别为x1和x2，则：
x1
x2=6，x1x2=1
∴（x1-x2）²=（x1
x2）²-4x1x2=32
∴|x1-x2|=4√2
∴|ab|=|x1-x2|/cos45°=8