Question

微分方程y'- y-x=0的通解

Answer 1

求微分方程y'=y/(y-x)的通解
解：dy/dx=(y/x)/[(y/x)-1]...............(1)
令y/x=u，则y=ux，dy/dx=u+x(du/dx)，代入(1)式得：
u+x(du/dx)=u/(u-1)，x(du/dx)=[u/(u-1)]-u=(2u-u²)/(u-1)，分离变量得：
[(u-1)/(2u-u²)]du=dx/x，积分之：
∫[(u-1)/(2u-u²)]du=lnx
左边=∫[(u-1)/u(2-u)]du=∫[1/(2-u)-1/u(2-u)]du=∫{1/(2-u)-(1/2)[(1/u)+1/(2-u)]}du
=(1/2)∫[1/(2-u)-(1/u)]du=(1/2)[-ln(u-2)-lnu]-lnc₁
故有(1/2)[-ln(u-2)-lnu]=lnc₁+lnx=ln(c₁x)
ln[(u-2)u]=-2ln(c₁x)，(u-2)u=1/(c₁x)²
将u=y/x代入即得通解为：[(y/x)-2](y/x)=1/(c₁x)²，即y(y-2x)=c为所求。