若函数f(x)=a 的X次幂(a>1)的定义域和值域均为[m,n],则a的取值范围是多少?
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解：
∵函数y=a^x
,(a＞1)在x∈R上是单调递增的。
∵函数f(x)=a^x,(a>1)的定义域和值域均为[m,n],
∴
当x=m时，y=m；
当x=n时，y=n。
∴(用数形结合的方法）函数y=a^x与直线y=x
有两个不同的交点。
换言之，函数y=a^x
,(a＞1)在x∈[m,n]上(被直线y=x切下的部分弧线)
必有一点的切线与y=x
平行。
∴
y'=㏑a
*
a^x=1.
∴a^x=1/㏑a.
∵a^x＞1,
-------(画图观察之。)
∴0＜㏑a＜1.
∴1＜a＜e.
∴
a的取值范围是：1＜a＜e.
(完毕)
∵函数y=a^x
,(a＞1)在x∈R上是单调递增的。
∵函数f(x)=a^x,(a>1)的定义域和值域均为[m,n],
∴
当x=m时，y=m；
当x=n时，y=n。
∴(用数形结合的方法）函数y=a^x与直线y=x
有两个不同的交点。
换言之，函数y=a^x
,(a＞1)在x∈[m,n]上(被直线y=x切下的部分弧线)
必有一点的切线与y=x
平行。
∴
y'=㏑a
*
a^x=1.
∴a^x=1/㏑a.
∵a^x＞1,
-------(画图观察之。)
∴0＜㏑a＜1.
∴1＜a＜e.
∴
a的取值范围是：1＜a＜e.
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