如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为BC上一点，求证：2PA²=PB²+PC²
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过点P做PE、PF分别垂直于AC、AB于点E、F
∴AP²=AE²
EP²
AP²=AF²
FP²
PC²=CE²
EP²
PB²=BF²
FP²
即AP²=AE²
PC²-CE²
AP²=AF²
PB²-BF²
∴2AP²=(AE²
PC²-CE²)
(AF²
PB²-BF²)
=(PC²
PB²)
(AE²-BF²)
(AF²-CE²)
在矩形AFPE中AE=FP
AF=EP
在等腰直角三角形CEP中CE=EP
即CE=AF
在等腰直角三角形BFP中BF=FP
即BF=AE
∴AE²-BF²=0
AF²-CE²=0
∴PC²
PB²=2AP²
∴AP²=AE²
EP²
AP²=AF²
FP²
PC²=CE²
EP²
PB²=BF²
FP²
即AP²=AE²
PC²-CE²
AP²=AF²
PB²-BF²
∴2AP²=(AE²
PC²-CE²)
(AF²
PB²-BF²)
=(PC²
PB²)
(AE²-BF²)
(AF²-CE²)
在矩形AFPE中AE=FP
AF=EP
在等腰直角三角形CEP中CE=EP
即CE=AF
在等腰直角三角形BFP中BF=FP
即BF=AE
∴AE²-BF²=0
AF²-CE²=0
∴PC²
PB²=2AP²
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