Question

lim┬(n→∞)⁡〖(1+1/2+1/3+⋯1/n)^(1/n) 〗

Answer 1

1/(n^2+1)+n/[n^2+n]=[(n^2+n)+n(n^2+1)]/[(n^2+1)(n^2+n)]
=n^3/n^4*[1+1/n+2/n^2+1/n^3]/[(1+1/n^2)(1+1/n)]
2/(n^2+2)+(n-1)/[n^2+n-1]=[2(n^2+n-1)+(n-1)(n^2+2)]/[(n^2+2)(n^2+n-1)]
=n^3/n^4*[1+1/n+4/n^2+-4/n^3]/[(1+2/n^2)(1+(n-1)/n^2)]
...
上面各式
都是分子最高项为3
分母最高项为4
等价于1/n
右边第2项在n趋向无穷时为1
n为奇数时一共有
(n-1)/2项
n为偶数时为n/2项
因此原式=lim
(1/n*(n-1)/2)=1/2
或者
lim(1/n*n/2)=1/2