Question

求解高数极限问题limx→0[(1+x)^(1/x)-e]/x

Answer 1

在x→0的时候
ln(1+x)
x
所以原式的极限为xln(1+e^(1/x))
令t
=
1/x得
t→无穷大
ln(1+e^t)
/
t
洛必达法则
=e^t
/
(1+e^t)
=1/(1+e^(-t))
=1
所以原式的极限是1

Answer 2

原极限=lim(x→0)
[(1+x)^1/x-e]/x
=lim(x→0)
e*{e^[(ln(x+1)/x-1]-1}/x
（把分子前面一项表示成指数形式,并分子提取公因式e）
=lim(x→0)
e*[ln(x+1)-x]/x^2
（x→0时,有e^x-1~x）
=-e/2