Question

如图直角三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,D为BC中点,E为AC上一点,点G在BE上,连接DG,并延长交AE于F,角FGE=45

Answer 1

(1)在⊿BEC和⊿BDC中，∠EBC=∠DBG，∠FGE=45°=∠C
∴∠BDC=∠BEC,
即⊿BEC∽⊿BDC
∴BD/BG=BE/BC，BG*BE=
BD*BC
∵D为BC中点，∴BC=2BD
又∵⊿ABC为等腰直角三角形，∴AB=√2BD
即BG*BE=2BD^2=（√2BD）^2=BA^2
∴BG/BA=BA/BE
在⊿BAE和⊿BGA中,
∠ABE=∠ABG
∴⊿BAE∽⊿BGA,即∠BAE=∠BGA=90°
∴AG垂直BE
(2)
连接DE，E是AC中点，D是BC中点，∴DE//BA
，因为BA⊥AC，所以
DE⊥AC设AB=2a
AE=a做CH⊥BE交BE的延长线于H
∵∠AEG=∠CEH,∠AGE=∠CHE,AE=EC
∴△AEG≌△CEH(AAS)∴CH=AG
∠GAE=∠HCE
∵∠BAE为直角∴BE=√5a∴AE=AB*AE/BE=(2/√5)a∴CH=(2/√5)a
∵AG⊥BE，∠FGE=45∴∠AGF=45=∠ECB∵∠DFE=∠GAE+∠AGF=∠HCE+∠ECB;∴∠DFE=∠BCH
又∵DE⊥AC
，CH⊥BE
∴△DEF∽△BHC
∴EF:DF=CH:BC=(2/√5)a:2√2a=1:√10=√10/10

Answer 2

证明：连接de，e是ac中点，d是bc中点，
∴de//ba
，因为ba⊥ac，所以
de⊥ac
设ab=2a
ae=a
做ch⊥be交be的延长线于h（图可看下图）
∵∠aeg=∠ceh,∠age=∠che,ae=ec
∴△aeg≌△ceh(aas)
∴ch=ag
∠gae=∠hce
∵∠bae为直角
∴be=√5a
∴ae=ab*ae/be=(2/√5)a
∴ch=(2/√5)a
∵ag⊥be，∠fge=45
∴∠agf=45=∠ecb
∵∠dfe=∠gae+∠agf=∠hce+∠ecb;
∴∠dfe=∠bch
又∵de⊥ac
，ch⊥be
∴△def∽△bhc
∴ef:df=ch:bc=(2/√5)a:2√2a=1:√10=√10/10