Question

当m,n,l是正整数时,(m+n+l)!/m!n!l!的值总是整数

Answer 1

①组合意义：原数对应是m个a，n个b，L个c做的全排列的数值
②转成组合数的乘积
(m+n+l)!/m!n!l!=(m+n+l)!/m!(n+l)!
×（n+l）！/n!/
l!
=C(m+n+l,m)×C(n+l，n)
③可以使用数论函数
对任何素数p
，
k！分解中p的指数为∑[k/p^s]
求和为s=1到无穷大
那么(m+n+l)!/m!n!l!
分解中p的指数为∑[（m+n+l）/p^s]-[m/p^s]-[n/p^s]-[l/p^s]
而易知对任何s，均有[（m+n+l）/p^s]-[m/p^s]-[n/p^s]-[l/p^s]≥0