高数，求这题三重积分详解
I=∭(x+y+z)dxdydz其中Ω是由x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的立体域...
I=∭(x+y+z)dxdydz其中Ω是由x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的立体域
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I = ∫<0, 1>dx∫<0, 1-x>dy∫<0, 1-x-y>(x+y+z)dz
= ∫<0, 1>dx∫<0, 1-x>dy[(x+y)z+z^2/2]<0, 1-x-y>
= (1/2)∫<0, 1>dx∫<0, 1-x>[1-(x+y)^2]dy
= (1/2)∫<0, 1>dx[y-(x+y)^3/3]<0, 1-x>
= (1/2)∫<0, 1>(2/3-x+x^3/3)dx
= (1/2)[2x/3-x^2/2+x^4/12]<0, 1> = 1/8
= ∫<0, 1>dx∫<0, 1-x>dy[(x+y)z+z^2/2]<0, 1-x-y>
= (1/2)∫<0, 1>dx∫<0, 1-x>[1-(x+y)^2]dy
= (1/2)∫<0, 1>dx[y-(x+y)^3/3]<0, 1-x>
= (1/2)∫<0, 1>(2/3-x+x^3/3)dx
= (1/2)[2x/3-x^2/2+x^4/12]<0, 1> = 1/8
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