Question

问一道初三数学证明题

Answer 1

如图①，在三角形ABC中，，点D为AB边中点，以点D为顶点做∠PDQ=90°，DP、DQ分别交直线AC、BC于E、F，分别过E、F作AB的垂线，垂足分别为M、N。
（1）求证：MN=1/2AB；
连接CD
因为△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，即△ABC为等腰直角三角形
所以，∠A=45°
又，D为AB中点
所以，CD⊥AB，且CD=AD
已知EM⊥AB
则，△AME也是等腰直角三角形
所以，AM=EM
由CD⊥AB得到：∠ADE+∠EDC=90°
由ED⊥DF得到：∠CDF+∠EDC=90°
所以，∠ADE=∠CDF
所以：在△ADE和△CDF中
∠A=∠DCF=45°
∠ADE=∠CDF
AD=CD
所以，△ADE≌△CDF（AAS）
所以，DE=DF
又因为，ED⊥DF
所以：∠MDE+∠NDF=90°
而，∠MDE+∠MED=90°
所以：∠NDF=∠MED
同理，在△MDE和△NFD中
∠DME=∠FDN=90°
∠MED=∠NDF
DE=DF
所以，△MDE≌△NFD（AAS）
所以：ME=DN
所以，AM=ME=DN
而，MN=ND+MD
则，MN=AM+MD=AD=AB/2
（2）把∠PDQ绕点D旋转，得到图②时，（1）中的结论是否成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(1)中的结论仍然成立
同理，连接CD
因为△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，即△ABC为等腰直角三角形
所以，∠A=45°
又，D为AB中点
所以，CD⊥AB，且CD=AD，∠FCD=45°
又：∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+∠CDE
∠CDF=∠EDF+∠CDE=90°+∠CDE
所以，∠ADE=∠CDF
所以：在△ADE和△CDF中
∠A=∠DCF=45°
AD=CD
∠ADE=∠CDF
所以，△ADE≌△CDF（ASA）
所以，DE=DF
由EM⊥AB得到：∠DEM+∠EDM=90°
由ED⊥DF得到：∠FDN+∠EDM=90°
所以：∠DEM=∠FDN
所以，在△DME和△FND中
∠DME=∠FND=90°
∠MED=∠NDF
DE=DF
所以，△DME≌△FND（AAS）
所以：DM=FN
而，FN=BN
所以，DM=FN=BN
所以，MN=MB+BN=MB+DM=BD=AB/2
（3）在∠PDQ绕点D旋转的过程中，设DP交射线BC于点G，连接BE，若FG=10，AE=3CE=6，求DG的长。
如图
由(1)的结论知：
DE=DF
△ADE≌△CDF
所以：CF=AE=6
则，CE=BF=6/3=2
而，已知GF=10
所以，GC=GF-CF=10-6=4
设DE=DF=x，GE=y
因为，ED⊥DF
所以，∠EDF=90°
而，∠ACB=90°
所以，∠ECF+∠EDF=90°+90°=180°
所以，C、E、D、F四点共圆
那么，GD、GF为自圆外同一点G引的两条割线
所以，GC*GF=GE*GD
即，4*(4+6)=y*(x+y)
即，y*(x+y)=40………………………………………………（1）
又，在Rt△GDF中，由勾股定理得到：GD^2+DF^2=GF^2
即，(x+y)^2+x^2=100…………………………………………（2）
联立(1)(2)得到：
x=2√5
y=2√5
所以：DG=x+y=4√5
或者，如果知道余弦定理，那么就更简单
因为AE=3EC=6
所以，AE=6、EC=2
则，AC=6+2=8
那么，由勾股定理得到：AB=8√2
所以，BD=AB/2=4√2
而，BG=BF+GF=CE+GF=2+10=12
所以，在△BDG中由余弦定理得到：DG^2=BD^2+BG^2-2*BD*BG*cos45°
=(4√2)^2+12^2-2*4√2*12*(√2/2)
=80
所以，DG=√80=4√5