Question

设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α满足Aα3=α2+α3

Answer 1

参考答案：1)实对称阵对应不同特征值的特征向量正交。
不妨设a的属于特征值1的特征向量(a,b,c)
则(0,1,1)(a,b,c)=b+c=0.
得两个特征向量(1,1,-1),(1,-1,1).
故a的属于特征值1的特征向量为(1,1,-1),(1,-1,1).
2)所得t=((0,1,1)'(1,1,-1)'(1,-1,1)'),
t-1=0.25((0,2,2)(2,1,-3)(2,-1,1)).
a=(t-1)diag(0,1,1)t=((1,0,0)(-0.5,1,-1)(0,-0.5,0.5)

Answer 2

证明:
(1)
设
k1α1+k2α2+k3α3
=
0
(1)
则
k1Aα1+k2Aα2+k3Aα3
=
0
所以
-k1α1+k2α2+k3(α2+α3)
=
0
所以
-k1α1+(k2+k3)α2+k3α3
=
0
(2)
(1)-(2)
得
2k1α1-k3α2=0
由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关
所以
k1=k3=0.
代入(1)知
k2=0
所以
α1,α2,α3线性无关
A(α1,α2,α3)
=
(Aα1,Aα2,Aα3)
=
(-α1,α2,α2+α3)
=
(α1,α2,α3)K
K
=
-1
0
0
0
1
1
0
0
1
所以
P^-1AP=K