Question

求幂级数的收敛域n!x^n

Answer 1

求幂级数
σ[(x-1)^n]/(n*2^n)
的收敛域。
利用比值判别法，当
lim(n→∞)|u[n+1](x)/u[n](x)|
=
lim(n→∞)|{[(x-1)^(n+1)]/[(n+1)*2^(n+1)]}/{[(x-1)^n]/(n*2^n)}|
=
lim(n→∞)(|x-1|/2)*[(n+1)/n]
=
|x-1|/2
<
1
时，级数收敛，故级数的收敛半径是
2，收敛区间是
(-1,3)，又易验在
x=-1
级数为
σ[(-1)^n]/n，交错级数，是收敛的；在
x=3
级数为
σ1/n，调和级数，是发散的，得知级数的收敛域为
[-1,3)。