Question

行列式中两行成比例为什么行列式为零

Answer 1

证明：如果行a和行b成比例k，则a-kb=0，把b乘以-k倍加到a上，则a行变成0行，行列式如果有零行当然值为0。由已知性质，交换行列式的两行，行列式的值变号可知，若行列式中有两行对应元素相同，则此行列式的值为零。

行列式中，有个性质，任何两行（或两列）对换位置，新行列式的值为原行列式值的相反数。所以由这个性质就得到了，行列式有两行（或两列）相同，那么这个行列式的值就是0，因为这两个相同的行（或列）对换位置后，行列式不变。

这说明这个行列式的相反数等于自己，所以值就是0那么如果两行（或两列）成比例，将比例提取出来后，剩下的行列式就是两行（或两列）相同的行列式了，那么行列式的值就是0。

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

Answer 2

用行列式基本性质来证明，即行列式的一行减去另一行的常数倍，行列式值不变。
设ci行与cj行成比例，即ci=kcj，那么给ci行减去kcj之后，ci行全部变为0，一行全为零，行列式之值显然为0.

Answer 3

根据行变换可将其中一行的元素全消为0,有一行全为0的行列式值为0