Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=Sn·Sn-1（n大于等于2，Sn不为0），a1=2/9

Answer 1

1.由题意得：
Sn-Sn-1=an;
1/Sn-1/Sn-1=(Sn-1-Sn)/(Sn·Sn-1)=-an/an=-1;
S1=a1=2/9;
所以1/Sn=1/S1+(n-1)*(-1)=11/2-n;
所以Sn=2/(11-2n);
所以an=Sn-Sn-1=4/[(2n-11)(2n-13)];
所以数列{1/Sn}是公差为-1，首项为2/9的等差数列。
2.当an>an-1时，由第一问结果，得到：
4/[(2n-11)(2n-13)]>4/[(2n-13)(2n-15)];
（接下来主要是讨论符号）；
当1=<n<=5时，化简不等式得到：-15<-11恒成立；
当n=6时，得到-4>4/3，不成立；
当n=7时，得到4/3>-4恒成立；
当n>=8时，得到-15>-11不成立；
综上所述：可得：解集为:
{1,2,3,4,5,7}