Question

已知粒子运动半径，如何求其可能出现的区域

Answer 1

一匀强磁场的磁感应强度大小为B；方向向里，其边界是半径为R的圆，AB为圆的直径．在A点有一粒子源向圆平面内（垂直于磁场）的各个方向发射质量m、电量-q的粒子，粒子重力不计．
（1）有一带电粒子以v1=
2qBRm
的速度从A点进入圆形区域，恰好从B点射出．求此粒子在磁场中运动的时间t．
（2）若磁场的边界是绝缘弹性边界（粒子与边界碰撞后将以原速率反弹），某粒子从A点沿半径方向射入磁场，与绝缘弹性边界碰撞3次后又能恰好回到A点，则该粒子的速度v2为多大？
（3）若在A点的粒子源向圆平面内的各个方向发射速度均为v3=
qBR2m
的粒子．试在乙图中用阴影图画出粒子在磁场中所能到达的区域，并求出该区域的面积．
（1）粒子进入磁场后由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出轨迹的半径，由几何知识求解轨迹对应的圆心角α，由t=α2πT求解粒子在磁场中运动的时间．
（2）粒子沿半径方向射入磁场，经过2次碰撞后回到A点，画出粒子运动的轨迹，由几何知识求出轨迹的半径，即可求出该粒子的速度．
解答解：（1）由洛伦兹力提供向心力，qv1B=mv21r1
得r1=2R
粒子的运动轨迹如图所示，则其对应的圆心角α=π3
运动时间
t=α2πT=πm3qB

（2）由题意画出粒子运动的轨迹如图2，
由几何关系得r2=R

由qv2B=mv22r2得v2=qBRm

（3）粒子的轨道半径r3=mv3qB=R2

粒子到达的区域为图中的阴影部分（如图所示）

区域面积为S=12πr23+2×16π(2r3)2-√3r23=1124πR2-√34R2
答：（1）有一带电粒子以v1=2qBRm的速度从A点进入圆形区域，恰好从B点射出．此粒子在磁场中运动的时间t=πm3qB．
（2）若磁场的边界是绝缘弹性边界（粒子与边界碰撞后将以原速率反弹），某粒子从A点沿半径方向射入磁场，与绝缘弹性边界碰撞3次后又能恰好回到A点，则该粒子的速度为v2=qBRm；
（3）若在A点的粒子源向圆平面内的各个方向发射速度均为v3=qBR2m的粒子．在乙图中用阴影图画出粒子在磁场中所能到达的区域如图，该区域的面积S=1124πR2-√34R2．