Question

求y=x^1/y的二阶导数

Answer 1

半晌没人做，我再帮帮你。
这个题既是隐函数又是幂指函数，做起来稍微麻烦点。幂指函数求导方法上经常用“对数求导法”，不过这里我用公式做。
一般的，幂指函数的导数是这样的：
[f(x)^g(x)]'=f(x)^g(x)*lnf(x)*g'(x)+g(x)*f(x)^[g(x)-1]*f'(x)
也就是说幂指函数的导数是两项之和，一项是把它看做指数函数求导，另一项是把它当做幂函数求导。
下面用这个公式求本题的一阶导数：
y'=(x^1/y)'
=x^(1/y)*lnx*(1/y)'+(1/y)*x^(1/y-1)
=y*lnx*(-y'/y^2)+x^(1/y)/(xy)
=-y'lnx/y+1/x
从而
y'(1+lnx/y)=1/x
y'=y/[x(lnx+y)]
y''={y'*[x(lnx+y)]-y*[x(lnx+y)]'}/[x(lnx+y)]^2
={y-y*[lnx+y+1+xy')]}/[x(lnx+y)]^2
=-y*[lnx+y+y/(lnx+y)]/[x(lnx+y)]^2
=-y*[(lnx+y)^2+y]/[x^2(lnx+y)^3]

Answer 2

两边取ln为底的对数：
lny=(1/y)lnx
两边对x求导：
（1/y)y'=(1/xy)-y^(-2)y'lnx
y'=y/(xy+xlnx)
y"=[y'(xy+xlnx)+y(y+xy'+lnx+1)]/(xy+xlnx)^2
=(y/x^2)[(2y+2lnx+2ylnx+y^2+(lnx)^2)/[x^2(y+lnx)^3]
此题就是复合函数求导的过程，只是计算有些麻烦，最终结果根据每个人化简的程度可能不太一样，请参考辨别一下。