Question

化简1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^1995

Answer 1

解:1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^2002
=(1+x)+x[(1+x)+(1+x)^2+...+(1+x)^2002]
=(1+x)+xSn
很容易看出这里的这个是等比数列,根据等比数列公式因为,a1=1+x,q=1+x
所以,Sn=[a1(1-q^n)]/1-q
=(a1-a1*q^n)/1-q
=[(1+x)-(1+x)(1+x)^2002]/1-(1+x)
=[(1+x)-(1+x)^2003]/(-x)
将Sn代入上式,
1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+...+x(1+x)^2002
=(1+x)+xSn
=(1+x)+x[(1+x)-(1+x)^2003]/(-x)
=(1+x)-[(1+x)-(1+x)^2003]
=(1+x)^2003