Question

在平面直角坐标系xoy中，点B与A（-1，1）点关于原点O对称，P为动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?12．（

Answer 1

（I）因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，-1）．
设点P的坐标为（x，y），则
∵直线AP与BP的斜率之积等于?
1
2
，
∴
y?1
x+1
?
y+1
x?1
＝?
1
2
化简
得x2+2
y2
=3（x≠±1）．
故
动点
P
轨迹方程
为x2+2y2=3（x≠±1）；
（Ⅱ）设点P（a，b），则直线AP：y=
b?1
a+1
x+
a+b
a+1
直线BP：y=
b+1
a?1
x+
a+b
?a+1
直线AP、BP分别与直线x=3交于点M、N，
所以，点M（3，
4b+a?3
a+1
），点N（3，
2b?a+3
a?1
）
因为AN∥BM，所以
2b+a?3
a+1
=
b?a+2
2a?2
，所以a=
5
3
因为直线AP与BP的斜率之积等于?
1
2
，
所以
b?1
a+1
?
b+1
a?1
＝?
1
2
，所以b=-
1
3
或者b=
1
3
所以，存在点P
（
5
3
，
1
3
）或者（
5
3
，-
1
3
）

Answer 2

（1）∵点b与点a（-1，1）关于原点o对称，∴b（1，-1），
设点p的坐标为（x，y），则
∵直线ap与bp的斜率之积等于-
1
3
，
∴
y?1
x+1
?
y+1
x?1
=-
1
3
化简可得x2+3y2=4（x≠±1）；
（2）∵e=2，∴1+
b2
a2
＝4，∴b2=3a2①
∵ab的方程为bx-ay-ab=0
∴由点到直线的距离公式可得
ab
a2+b2
=
3
2
②
联立①②，解得a2=1，b2=3
∴双曲线方程为x2?
y2
3
＝1．