Question

定积分，不定积分

Answer 1

方法都会，是基本技能，这里就差个基本理论：概念和定理。定积分和不定积分是不同的概念，前者是个数，后者是函数族。由于牛顿和莱布尼兹证明了微积分基本公式，从而明确了两者之间的联系。即定积分可以由被积函数的一个原函数在积分区间上的增量来表示。因此求定积分可以先求不定积分，即求得被积函数的一个原函数（你注意到定积分时不用写大c吗？就因为我们不用求全体原函数），再求这个原函数在积分区间上的增量。即你所说的代个数就ok了，实在是代两个数减一下。定积分和不定积分的方法的联系与区别是：一般的定积分前阶段实际就是求不定积分，似乎没区别，但注意一个要加大c，一个不加。定积分后面要代两个数减一下，也是它们的区别：因为定积分是数，而不定积分是函数族。
还要指出的是：被积函数的原函数不能用初等函数表示的时候，就不能用牛顿-莱布尼兹公式即微积分基本公式）了，也就你所说求出代个数的方法。这时就要寻求其他方法，比如数值解法等。

Answer 2

解：设x^2=t，则x=t^(1/2)，dx=(1/2)t^(-1/2)dt，t∈[0,∞)，
　　∴原式=(1/2)∫(0,∞)[t^(1/2)]e^(-t)dt=(1/2)∫(0,∞)[t^(3/2-1)]e^(-t)dt。
　　根据伽玛函数【Γ(x)】的定义，原式=(1/2)Γ(3/2)=(1/2)Γ(1+1/2)=(1/4)Γ(1/2)。而伽玛函数有，Γ(1/2)=√π，
　　∴原式=(1/4)√π。供参考。