Question

求证（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a中至少有一个不大于1/4

Answer 1

反证法。
假设：三个都大于1/4，则：
(1－a)b>1/4
(1－b)c>1/4
(1－c)a>1/4
则：
√[1－a)b]>1/2
√[(1－b)c]>1/2
√[(1－c)a]>1/2
三个式子相加，得：√[(1－a)b]＋√[(1－b)c]＋√[(1－c)a]>3/2
-----------------(1)
考虑到：[(1－a)＋b]/2≥2√[(1－a)b]，即：
√[(1－a)b]≤[(1－a)＋b]/2
同理，有：
√[(1－b)c]≤[(1－b)＋c]/2
√[(1－c)a]≤[(1－c)＋a]/2
三个式子相加，得：
√[(1－a)b]＋√[(1－b)c]＋√[(1－a)c]≤[(1－a)＋b]/2＋[(1－b)＋c]/2＋[(1－c)＋a]=3/2
------(2)
比较(1)和(2)，得：3/2<3/2
矛盾，从而假设错误。
所以，(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中至少有一个不大于1/4

Answer 2

例1．已知a，b，c∈（0，1），求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于．
考点：不等式的证明．专题：证明题；反证法．分析：首先根据题意，通过反证法假设假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于，得出：；然后根据基本不等式，得出．相互矛盾，即可证明．解答：证明：反证法假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于
（1-a）b＞
（1-b）c＞
（1-c）a＞
即
①
②
③
①②③相加：
由基本不等式a+b≥2
④
⑤
⑥
④⑤⑥三式相加
与矛盾所以假设不成立∴命题得证∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于．点评：本题考查反证法的应用，涉及不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．

Answer 3

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
所以有
√((1-a)b)>1/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2
则
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)
>
3/2①
而由基本不等式：a,b∈R+,
a+b≥2√(ab),
有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
所以
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2
这与已知的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)
>
3/2
①矛盾
所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4
希望你能看懂，你能明白