Question

一道初中数学几何题，！！

Answer 1

在一个三角形ABC中，有一个内三角形PDE。AB是底边，点P在AB边上，点D在AC边上，点E在BC边上。在某个特殊的位置上，三角形PDE有一个最小值周长。
求：当三角形PDE的周长是最小值时，点P处于AB边上一个特殊的位置。点P在哪里？点D和点E又在哪里？最小值周长是多少？
根据提示，连接CP、CR、CT，设PR交AC于H，PT交BC于H'
显然，D、E只有分别对应RT与AC、BC的交点，三角形DEP的周长才是最小的，也就是此时三角形DEF的周长就是RT的长度
因为RH＝PH，且角CH垂直于RP，所以三角形RCH与三角形PCH全等，
故有角RCH＝角PCH，CR＝CP
同理可证角TCH'=角PCH'，CT＝CP
所以CR＝CP＝CT
所以角RCT＝2倍角ACB
由余弦定理RT^2=CR^2+CT^2-2*CR*CT*cos角RCT
又根据上面得出的结论，用CP分别替代CR、CT，用2倍角ACB替代角RCT
有RT^2=2*CP^2*(1-cos2倍角ACB)
因为角ACB为定值，显然，只有当CP最小时，RT才是最小的
所以P点为从C作垂线与AB的交点，D、E两点就是RT与AC、BC的交点(也可以证明这两点也是垂线的交点）
要求最小周长，得把CP用三角形的边和角表示出来，可有多种选择
我用CP＝AC*sin角CAB表示
则RT^2=2*(AC*sin角CAB)^2*(1-cos2倍角ACB)
开方后即得内接三角形周长的最小值
注：RT^2表示RT的平方的意思，其它的类推

Answer 2

在一个三角形ABC中，有一个内三角形PDE。AB是底边，点P在AB边上，点D在AC边上，点E在BC边上。在某个特殊的位置上，三角形PDE有一个最小值周长。
求：当三角形PDE的周长是最小值时，点P处于AB边上一个特殊的位置。点P在哪里？点D和点E又在哪里？最小值周长是多少？
根据提示，连接CP、CR、CT，设PR交AC于H，PT交BC于H'
显然，D、E只有分别对应RT与AC、BC的交点，三角形DEP的周长才是最小的，也就是此时三角形DEF的周长就是RT的长度
因为RH＝PH，且角CH垂直于RP，所以三角形RCH与三角形PCH全等，
故有角RCH＝角PCH，CR＝CP
同理可证角TCH'=角PCH'，CT＝CP
所以CR＝CP＝CT
所以角RCT＝2倍角ACB
由余弦定理RT^2=CR^2+CT^2-2*CR*CT*cos角RCT
又根据上面得出的结论，用CP分别替代CR、CT，用2倍角ACB替代角RCT
有RT^2=2*CP^2*(1-cos2倍角ACB)
因为角ACB为定值，显然，只有当CP最小时，RT才是最小的
所以P点为从C作垂线与AB的交点，D、E两点就是RT与AC、BC的交点(也可以证明这两点也是垂线的交点）
要求最小周长，得把CP用三角形的边和角表示出来，可有多种选择
我用CP＝AC*sin角CAB表示
则RT^2=2*(AC*sin角CAB)^2*(1-cos2倍角ACB)
开方后即得内接三角形周长的最小值
注：RT^2表示RT的平方的意思，其它的类推

Answer 3

过E作EF平行于AB交AD于点F
中位线EF=(AB+CD)/2
设梯形的高为H,
S△AEF=1/2*EF*（H/2）
S△DEF=1/2*EF*（H/2）
所以S△ADE=S△AEF+S△DEF=1/2*EF*（H/2）+1/2*EF*（H/2）=1/2*EF*H=1/2*[(AB+CD)/2]*H
而S梯形=1/2*(AB+CD)*H
所以S△ADE：S△ADE=1/2*[(AB+CD)/2]*H
：1/2*(AB+CD)*H=1：2
即证S三角形ADE=S梯形ABCD的1/2