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计算极限lim(x->1)(1/(1-x)-3/(1-x^3))
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∵(1-x)³=(1-x)(1+x+x²)
∴lim(1/(1-x)-1/(1-x^3))
=lim((1+x+x²)/(1-x³)-1/(1-x)³)
=lim((x+x²)/(1-x³))
=lim((1/x²+1)/(1/x²-x)(上下同时除以x²)
由于没有限制x的值域,故分情况讨论:
(1)若x趋于无穷大时,lim(1/(1-x)-1/(1-x^3))=lim(-1/x)=0
(2)若x趋于(0,1)时,lim(1/(1-x)-1/(1-x^3))=lim(-1/x)=-1
(3)若x趋于(-1,0)时,lim(1/(1-x)-1/(1-x^3))=lim(-1/x)=1
∴lim(1/(1-x)-1/(1-x^3))
=lim((1+x+x²)/(1-x³)-1/(1-x)³)
=lim((x+x²)/(1-x³))
=lim((1/x²+1)/(1/x²-x)(上下同时除以x²)
由于没有限制x的值域,故分情况讨论:
(1)若x趋于无穷大时,lim(1/(1-x)-1/(1-x^3))=lim(-1/x)=0
(2)若x趋于(0,1)时,lim(1/(1-x)-1/(1-x^3))=lim(-1/x)=-1
(3)若x趋于(-1,0)时,lim(1/(1-x)-1/(1-x^3))=lim(-1/x)=1
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