Question

A是n阶正定矩阵，证明A的伴随矩阵也是正定矩阵

时间紧急，谢谢了，分数可以再加

Answer 1

首先知道一个定理：
A正定<=>存在可逆矩阵C，使得A=C*C的转置

接下来证明你的题：
因为A正定
所以存在可逆矩阵C，使得A=C*C的转置
设C的逆的转置=D
则D可逆，且
A的逆=D*D的转置 （对上式两边取逆就得到了）
所以A的逆也是正定的

而A*A的伴随=|A|*E
所以
A的伴随=|A|*A的逆
其中|A|是A的行列式，是一个正数
即为一个正数乘以一个正定阵，所以是正定的

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

定义法：

A正定，所以A是对称矩阵，且|A|＞0.

所以，A的伴随矩阵(A*)对称.

对于任意的非零向量x，存在非零向量y，使得x＝Ay.

（以下以x'、A'分别表示向量转置和矩阵转置）

x'(A*)x＝(AY)'(A*)(Ay)＝y'[A'(A*)A]y＝y'[A(A*)A]y＝y'[|A|A]y＝|A|×y'Ay＞0

所以，A的伴随矩阵(A*)对正定.

Answer 4

A是n阶正定矩阵，则A可逆，且逆矩阵也是正定矩阵

AA*=|A|I
A-1=A*/|A|
则A*也为正定矩阵

Answer 5

设A的特征值为λ，则伴随阵的特征值为|A|/λ，以此入手，一步便得证