Question

正三棱锥的内切球半径如何求

Answer 1

解：设正三棱锥s-abc内切于球,球心为o
若正△abc的一中线为ad,重心为g,
则高sg经过点o，
又设正三棱锥的棱长为12a，
则ab=bc=sa=12a
可求得：bd=6a，ad=6（根号3）a
ag=4（根号3）a，sg=4（根号6）a
∵球半径og=r，∴os=4（根号6）a-r
∵oa=os，∴oa=4（根号6）a-r
在rt△oag中，∵oa²=og²+ag²
∴[4（根号6）a-r]²=r²+[4（根号3）a]²
∴a=（根号6）r/6
∴正三棱锥s-abc的体积v
=△abc的面积乘以高sg除以3
=（bc×ad×sg）/6
=[12a×6（根号3）a×4（根号6）a]÷6
=144（根号2）a³
=8（根号3）r³

Answer 2

如图左，内切圆圆心为异面两棱中点连线MN的中点O，
半径为点O到平面BCD的距离OG的长度，
转化到右图平面图形的计算：
设棱长AB为a，则NB=a/2，由勾股定理得AM=BM=根号3*a/2
MN=根号2/2，OM=根号2/4，
由△MOG∽MBN
得OG/BN=MO/MB
∴OG=根号6/12a