Question

设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1

设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且f(0)=f(1)=0，f(1/2)=1,求证： ⑴存在η属于(1/2，1)，使f(η)=η ⑵对λ属于R,存在ξ属于(0，η)，使f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1 已知函数f(x)在区间[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且f(0)=0，f(1)=1，f(x)是x的非线性函数，证明在(0，1)内至少存在一点ξ，使f'(ξ)＞1 格式不太清晰，一共有两个题，都是关于中值定理的，第一个题目有两个小问⑴和⑵，“已知……”是第二个题目。希望在三天内得到结果，谢谢！

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

设辅助函数f(x)=f(x)(1-x)^3.
知:f(x)在区间[0,
1]满足洛尔定理的条件.故存在ξ,(0<ξ<1),使:f'(ξ)
=0.
而f(x)=
f'(x)(1-x)^3
+
3f(x)*(1-x)^2
(-1)
=
(1-x)^2
[(1-x)f'(x)
-
3f(x)].
f'(ξ)=
0
,而且是1
-
x≠
0,
即有:(1-ξ)f'(ξ)
-
3f(ξ).=
0
即:
3f(ξ).=
(1-ξ)f'(ξ)
.