Question

集合{1，2，3}的真子集的个数有（

集合{1，2，3}的真子集的个数有（　　）

Answer 1

（1）由函数f(x)＝1x+1，g(x)＝x2+2x+2，x∈R可得M={x|x≠-1}，N=R
从而h(x)＝x2+2x+2x+1，x≠?11，x＝?1
当x＞-1时，h(x)＝x2+2x+2x+1＝(x+1)2+1x+1＝x+1+1x+1≥2
当x＜-1时，h(x)＝x2+2x+2x+1＝(x+1)2+1x+1＝?(?x?1+1?x?1)≤?2
所以h（x）的取值集合为{y|y≤-2，或y≥2或y=1}…．（5分）
（2）易知h（x）=x2+2x+2，
所以h'（x）=2x+2所以bn=g'（an）=2an+2
显然点Pn（an，bn）在直线l上，且a1=-1，
又{an}是等差数列，公差为1
所以an=n-2，bn=2n-2故Pn（n-2，2n-2），又P1（-1，0）
所以|P1Pn|＝5(n?1)(n≥2)
所以1|P1P2|2+1|P1P3|2+…+1|P1Pn|2＝15[1+122+132+…+1(n?1)2]＜15[1+11?2+12?3+…+1(n?2)(n?1)]
=15[1+1?1n?1]＜25…..（8分）
（3）由函数y=f（x）的定义域为R，
得g（x）=f（x+a）的定义域为R，
所以，对于任意x∈R，都有h（x）=f（x）?g（x）
即对于任意x∈R，都有cosx=f（x）?f（x+a）
所以，我们考虑将cosx分解成两个函数的乘积，
而且这两个函数还可以通过平移相互转化
cosx＝cos2x2?sin2x2＝(cosx2+sinx2)(cosx2?sinx2)
=2cos(x2?π4)?2cos(x2+π4)
所以，令f(x)＝2cos(x2?π4)，
且α=π，即可 …..（13分）
又cosx＝1?2sin2x2＝(1+2sinx2)(1?2sinx2)
所以，令f(x)＝1+2sinx2，
且α=2π，即可（答案不唯一）