Question

∫(e^x)sin²xdx

∫(e^x)sin²xdx
＝∫sin²xd(e^x)
＝(e^x)sin²x－∫(e^x)d(sin²x)
＝(e^x)sin²x－∫(e^x)(sin2x)dx
＝(e^x)sin²x－∫(sin2x)d(e^x)
＝(e^x)sin²x－(e^x)(sin2x)＋∫(e^x)d(sin2x)
＝(e^x)sin²x－(e^x)(sin2x)＋∫(e^x)(2cos2x)dx
＝(e^x)sin²x－(e^x)(sin2x)＋∫(2cos2x)d(e^x)
＝(e^x)sin²x－(e^x)(sin2x)＋(2cos2x)(e^x)－∫(e^x)d(2cos2x)
＝(e^x)sin²x－(e^x)(sin2x)＋(2cos2x)(e^x)＋∫(e^x)(4sin2x)dx
比较上面第三个等号和最后一个等号，求出∫(e^x)sin2xdx的值，代入就行了

我看有大佬写的答案是这样的。但我算到最后一步就算死了。他说比较上面第三个等号和最后一个等号，求出∫(e^x)sin2xdx的值，代入就行了。那么怎么求出值和如何代入呢？急需，我感觉可以一直写下去。emmmmmmm

Answer 1

利连循环积分计算，

方法如下图所示，请作参考，祝学习愉快：

Answer 2

已知∫e^x·sin²xdx
＝e^x·sin²x-∫e^x·sin2xdx
＝e^x·sin²x-e^x·sin2x+2∫e^x·cos2xdx
有cos2x＝1-2sin²x,
∫e^xcos2xdx
＝∫e^x(1-2sin²x)dx
＝∫e^xdx-2∫e^xsin²xdx，
令要求的I＝∫e^xsin²xdx,
有I＝e^xsin²x-e^xsin2x+2e^x-4I，
5I＝e^x(sin²x-sin2x+2)
I＝e^x(sin²x-sin2x+2)/5。

追问

cos2x＝1-2sin²x 这个是如何来的呢？需要死记吗？
e^x(sin²x-sin2x+2)/5+C才是最终答案把，也能不加C吗？

追答

cos2x＝1-2sin²x＝cos²x-sin²x是固定的，用到的情况蛮多的，记住是最好的。
是要＋C，忘记加了。

Answer 3

∫e^x. cos2x dx
= ∫ cos2x d e^x
= cos2x. e^x + 2 ∫ sin2x. e^x dx
= cos2x. e^x + 2 ∫ sin2x de^x
= cos2x. e^x + 2sin2x.e^x -4 ∫ cos2x. e^x dx
5∫e^x. cos2x dx = cos2x. e^x + 2sin2x.e^x
∫e^x. cos2x dx = (1/5)[cos2x. e^x + 2sin2x.e^x] + C'
//
∫(e^x) (sinx) ^2 dx
=(1/2) ∫(e^x) (1-cos2x) dx
=(1/2) e^x - (1/2) ∫e^x. cos2x dx
=(1/2) e^x - (1/10) [cos2x. e^x + 2sin2x.e^x] + C