Question

已知A是n阶正定矩阵，证明A的伴随矩阵A*也是正定矩阵。

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Answer 1

首先知道一个定理：
A正定<=>存在可逆矩阵C，使得A=C*C的转置

接下来证明你的题：
因为A正定
所以存在可逆矩阵C，使得A=C*C的转置
设C的逆的转置=D
则D可逆，且
A的逆=D*D的转置 （对上式两边取逆就得到了）
所以A的逆也是正定的

而A*A的伴随=|A|*E
所以
A的伴随=|A|*A的逆
其中|A|是A的行列式，是一个正数
即为一个正数乘以一个正定阵，所以是正定的

Answer 2

设A的特征值为λ，则伴随阵的特征值为|A|/λ，以此入手，一步便得证