Question

高数题目求解，

Answer 1

n(n+2)x^n = (n+1)n x^n + nx^n
1 + x + x^2 + ... + x^(n+1) = 1/(1-x), n->oo
两边求导：1 + 2x + 3x^2 + ... + (n+1)x^n = 1/(1-x)^2
再求导一次：2 + 6x + ... + (n+1)n x^(n-1) = 2/(1-x)^3
乘 x, 2x + 6x^2 + ... + (n+1)n x^n = 2x/(1-x)^3 ......(1)
1 + x + x^2 + ... + x^n = 1/(1-x), n->oo
求导一次：1 + 2x + 3x^2 + ... + nx^(n-1) = 1/(1-x)^2
乘 x, x + 2x^2 + ... + nx^n = x/(1-x)^2 ......(2)
(1)+2)得：原级数 = 2x/(1-x)^3 + x/(1-x)^2

Answer 2

先求收敛半径r,进而求得收敛域为(-1,1)
原和函数=∑n(n+1)x^n+∑nx^n
设S(x)=∑x^(n+1)，(n=1,2，……，∞)，由S(x)两次对x求导，有S''(x)=∑(n+1)nx^(n-1)。∴∑(n+1)nx^n=xS''(x)。
而，在丨x丨
∴∑(n+1)nx^n=xS''(x)=2x/(1-x)^3,
而对于∑nx^n
=x∑nx^(n-1)
记g(x)=f(x)/x=∑nx^(n-1)
积分得：G(x)=∑x^n=C+x/(1-x)
求导得：g(x)=1/(1-x)²
故f(x)=xg(x)=x/(1-x)²
以上两式相加得
原和函数=(3x-x^2)/(1-x)^3