Question

在数列{a n }中， a 1 =- 1 2 ， a n+1 =2 a n +n-1 ，n∈N * ．（1）证明数列{a n +

在数列{a n }中， a 1 =- 1 2 ， a n+1 =2 a n +n-1 ，n∈N * ． （1）证明数列{a n +n}是等比数列； （2）求数列{a n }的前n项和S n ； （3）求S n 的最小值，指出S n 取最小值时n的值，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：
a
n+1
+(n+1)
a
n
+n
=
2
a
n
+n-1+(n+1)
a
n
+n
=
2
a
n
+2n
a
n
+n
=2
，n∈N
*
又
a
1
+1=-
1
2
+1=
1
2
，
所以数列{a
n
+n}是首项为
1
2
，且公比为2的等比数列
（2）
由（1）可知a
n
+n=
1
2
×2
n-1
=2
n-2
于是数列{a
n
}的通项公式为a
n
=2
n-2
-n
所以数列{a
n
}的前n项和
S
n
=
1
2
(1-
2
n
)
1-2
-
(1+n)n
2
=
2
n-1
-
n(n+1)
2
-
1
2
（3）对任意的n∈N
*
，S
n+1
-S
n
=
(
2
n
-
(n+1)(n+2)
2
-
1
2
)
-(
2
n-1
-
n(n+1)
2
-
1
2
)
=2
n-1
-（n+1）
n=1时，2
n-1
-（n+1）=-1＜0
所以S
2
＜S
1
n=2时，2
n-1
-（n+1）=-1＜0
所以S
3
＜S
2
n=3时，2
n-1
-（n+1）=0
所以S
4
=S
3
n=4时，2
n-1
-（n+1）=3＞0
所以S
5
＞S
4
猜想“n∈N
*
，且n≥4时，2
n-1
＞（n+1）”
下面用数学归纳法证明：
①当n=4时，已证
②假设当n=k（k≥4）时，命题成立，即2
k-1
＞（k+1）
那么当n=k+1时，2
k
=2×2
k-1
＞2（k+1）=（k+2）+k＞k+2=（k+1）+1
这就是说，当n=k+1时，命题也成立
根据①和②，可知当n∈N
*
且n≥4时，不等式2
n-1
＞（n+1）都成立
综上S
1
＞S
2
＞S
3
=S
4
＜S
5
＜S
6
＜＜S
n
＜S
n+1
＜
所以当n=3，?n=4时，S
n
取到最小值：
-
5
2