Question

定积分求极限问题。

如图方框内的π/2怎么来的？积分内的x又到哪去了？请细说一下。

Answer 1

如图，利用换元法来证明。

追问

你这行等于什么呢？过程能不能单独写一下？

Answer 2

∫[0,π]xf(sinx)dx=π∫[0,π/2]f(sinx)dx
∫[0,π]sin^2xdx=2∫[0,π/2]sin^2xdx
有任何疑惑，欢迎追问

追问

你第一个式子是什么性质？为什么？

追答

Answer 3

详细过程是，对∫(0,π)xsin²xdx。令x=π-t，∴∫(0,π)xsin²xdx=∫(0,π)(π-t)sin²tdt=π∫(0,π)sin²tdt-∫(0,π)tsin²tdt。
∴∫(0,π)xsin²xdx=(π/2)∫(0,π)sin²xdx。
而，∫(0,π)sin²xdx=∫(0,π/2)sin²xdx+∫(π/2,π)sin²xdx。对后一积分，再令x=π-t，∫(π/2,π)sin²xdx=∫(0,π/2)sin²tdt。
∴∫(0,π)sin²xdx=2∫(0,π/2)sin²xdx。
供参考。

Answer 4

let

u=π-x
du=-dx
x=0, u=π
x=π, u=0
∫(0->π) x(sinx)^2 dx

=∫(π->0) (π-u) (sinu)^2 (-du)
=∫(0->π) (π-x) (sinx)^2 dx
2∫(0->π) x(sinx)^2 dx =π∫(0->π) (sinx)^2 dx
∫(0->π) x(sinx)^2 dx =(π/2)∫(0->π) (sinx)^2 dx