Question

已知f（x）=2sinx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ...

已知f（x）=2sinx（sinx+cosx）． （Ⅰ）求f（x）最小正周期； （Ⅱ）求函数f（x）的最大值及此时x的值的集合； （Ⅲ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=2sinx（sinx+cosx）=sin2x-cos2x+1=√2sin（2x-π4）+1，
∵ω=2，∴T=2π2=π；
（Ⅱ）由（1）知f（x）的最大值M=√2+1，
当f（x）=√2+1时，sin（2x-π4）=1，
∴2x-π4=2kπ+π2，
即x=kπ+3π8，k∈Z，
则所求自变量x的集合为{x|x=kπ+3π8，k∈Z}．
（Ⅲ）令2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2，k∈z，求得kπ-π8≤x≤kπ+3π8，k∈z，
故函数的增区间为[kπ-π8，kπ+3π8]，k∈z．
令2kπ+π2≤2x-π4≤2kπ+3π2，k∈Z，
解得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8，k∈Z．
∴函数的递减区间为[kπ+3π8，kπ+7π8]，k∈Z．