Question

求简单不定积分的

∫根号x2-a2(分母)/X2（分子）dx

Answer 1

可用第二换元积分法：令：x=a*sect
则t=arcsecx/a
且dx=a*tant*sectdt
那么：∫x^2/√x^2-a^2=∫a^2*sect^3dt=a^2∫sect^3dt可求分部积分法求∫sect^3dt：∫sect^3dt=∫sect*sect^2dt=∫sectd(tant)
=sect*tant-∫tantd(sect)
=sect*tant-∫sect*tant^2dt
=sect*tant-∫(sect^3-sect)dt
=sect*tant-∫sect^3dt+∫sectdt
=sect*tant-∫sect^3dt+ln|sect+tant|+C将∫sect^3dt移到等号的左边：2∫sect^3dt=sect*tant+ln|sect+tant|+C
∫sect^3dt=1/2*sect*tant+1/2*ln|sect+tant|+C那么∫x^2/√x^2-a^2=(a^2)/2*sect*tant+(a^2)/2*ln|sect+tant|+C接下来就是要把变量t还原为变量x，那就要画出一个三角形找出边边关系（步骤省略自己画在本上），根据x=a*sect，得：sect=x/a
和
tant=(√x^2-a^2)/a，则：∫x^2/√x^2-a^2=x/2*√(x^2-a^2)+(a^2)/2*ln|x/a+√(x^2-a^2)/a|+C其中√表示根号下
*表示乘积
OK