Question

(x+a/x)(2x-1/x)^5的展开式中各项系数的和为4。则该展开式中常数项为

Answer 1

令x=1，代入表达式，有
P(1) = (1+a)(2-1)^5=1+a
而P(1)也应该是多项式展开后的各项系数之和，即P(1)=4，则有：
1+a=4，可解得 a=3
P(x)=(x+3/x)(2x-1/x)^5
根据多项式乘法性质，展开式中常数项来自两部分：
(1) (x+3/x)中的x项 去乘 (2x-1/x)^5中的1/x项
设(2x-1/x)^5展开式中1/x项是第i项，则有：C(5,i)(2x)^i*(-1/x)^(5-i) = Kx^(-1) （K为系数）
考察次方数，有 i-(5-i) = -1，可解得 i=2
故可知该项为：C(5,2)(2x)²(-1/x)³ = -40/x
则此部分的常数项=1*(-40)=-40
(2) (x+3/x)中的3/x项 去乘 (2x-1/x)^5中的x项
同样方法可知 (2x-1/x)^5展开项中x项是第3项：C(5,3)(2x)³(-1/x)² = 80x
则此部分的常数项=3*80=240
综合(1)(2)，可知：
常数项 = -40+240 = 200