Question

已知α,β是方程x2^-2mx+m-6=0的两个实数根,求(α-1)2^+(β-1)2^的最值

Answer 1

由韦达定理:
α+β=2m;
α·β=m-6;
而(α-1)2^+(β-1)2^
=α^2
+
β^2
-2(α+β)
+2
=(α+β)^2
-2(α+β)
-2α·β
+2
=(2m)^2
-2·(2m)
-2·(m-6)
+2
=4m^2
-6m
+14
=4(m-3/4)^2
+47/4;
而方程x2^-2mx+m-6=0有两个实数根,则:其判别式
△=4m^2
-4(m-6)
=4m^2
-4m
+24
＞0
→m^2
-m
+6
＞0;
由于1^2-4×1×6＜0,故m为任意实数;
则(α-1)2^+(β-1)2^=4(m-3/4)^2
+47/4
≥47/4
最小值为47/4
;
无最大值